Jaapani preemia on tänapäeva teaduse üks kõrgeimaid autasusid, mis antakse silmapaistvate originaalsete saavutuste eest.

Aastal 2003 said selle USA matemaatikud Benoit B. Mandelbrot ja James A. Yorke “Komplekssüsteemide kontseptsiooni – kaos ja fraktalid“ loomise eest. Preemia üleandmise pidulik tseremoonia toimus 25. aprillil Tokios, kus kumbki laureaat pidas loengu ning Tema Majesteet Imperaator andis üle mälestusmedalid ja sularahas 50 miljonit jeeni. Samas toimus kontsert ja bankett. Sündmus on väärt, et pisut pikemalt peatuda probleemil, mille arendamine nii suurt tunnustust leidis.

Teame, et maailm on ühtne ja keeruline ning suur on ahvatlus mõista looduse mitmekesisust. Seni on teadus püüdnud valdavalt lahutada maailma koostisosadeks, et nende kaudu uurida looduse olemust. Kuid terviksüsteemidel on omadusi, mis puuduvad looduse osistel ja ilmnevad alles siis, kui üksikelemendid ühinevad süsteemideks. Nii käitub põld kui produtseeriv süsteem hoopis erinevalt kui tema fotosünteesivad ja hingavad koostisosad – taimed. Näiteks olen ise leidnud, et põllu suurima produktiivsuse tagab üksiktaimede maksimaalne kasutegur, mitte suurim produktiivsus. Ka võib põllu kui terviku jaoks temperatuuri optimum erineda üksiktaimede vastavast näitajast. Nii on ka teiste aladega.

Algtingimused ja kaos

Mandelbroti ja Yorke tööd on jätkuks avastusele, mille tegi USA matemaatik ja meteoroloog Edward Norton Lorenz (1917) eelmise sajandi 60. aastatel. Lorenz pani aluse kaose teooriale, näidates, et mittelineaarsete süsteemide areng on oluliselt sõltuv algtingimustest. Selle peale tuli ta tegelemisel numbrilise ilmaennustusega. Arvutades ilma ette, leidis ta, et see on rahuldavalt võimalik ainult mõneks päevaks, erandkorras kuni kümneks päevaks, stabiilse kõrgrõhkkonna korral isegi kuni kuu aega ette, nagu möödunud aasta suvel. Arvutatud ilma trajektoorid lahknevad oluliselt väga väikeste algtingimuste erinevuse või muutuse korral. Lorenz iseloomustas olukorda piltliku näitega, väites, et algtingimuste muutused, mis seotud liblika tiivalöögiga Brasiilias võivad põhjustada tornaado Texases (1). Marsi gravitatsioonivälja pisimadki muutused võivat mõjustada tingimusi Maal – näiteks, kui kivi veereb alla Marsi mäelt, võib see muuta ilma Maal ja teha seda ennustamatuks, väidab olukorda hinnates Yorke samasuguse piltlikkusega, nagu teeb seda Lorenz.

Öeldust võib järeldada, et süsteem või nähtus, mille käitumine on raskesti ennustatav, on kaootiline. Professor Yorke arvab, et kaose mõistmiseks võiks ette kujutada spermat, mida saab vaadelda kui kaootilist spermatosoidide parve, kus toimub võidujooks munaraku viljastamiseks ja uue elu loomiseks.

Nii said kõne all olevate meeste töödest alguse kaose teooria ja korrapära otsingud kaoses, mis sisuliselt tähendab, et kaos on ette määratud ehk determineeritud. Peagi leidis determineeritud kaose teooria rakendamist väga mitmes elu valdkonnas, kaasa arvatud meditsiin, mehaanika, kunstid, ka modernne muusika. Ajaloo algtingimuste mõju tulevikule oleme kogenud kas või Molotovi-Ribbentropi pakti kaudu. Liitlaste Krimmi konverentsi otsused jätsid meid nõukogude meelevalda. Meie ajalugu kujunes süngeks, milles üksikinimeste elutrajektoorid olid erinevad, kuid üldjoontes sarnased. Ka praegu on maailmas muutumas algtingimused, mis kindlasti mõjustavad otsustavalt inimkonna tulevikku. Kas tuleb aeg, millal ajalugu saab matemaatiliselt-numbriliselt ennustada, nagu ilmagi, ja algtingimusi meile soodsamas suunas mõjustada, seda on raske öelda. Küllap lihtsustavad ajaloo mõistmist mõttelised eksperimendid: mis oleks saanud siis, kui algtingimused olnuksid nii- või naasugused.

Sarnasus iseendaga – looduse universaalne omadus

Looduses on struktuure ja süsteeme, mis koosnevad iseenesega sarnastest elementidest. Nendeks on geomeetrilised kujundid, nagu rannikujooned, jõgede looklevad mustrid, pilved, lumehelbed, aga ka puud, sõnajalad, lillkapsas ja teised bioloogilised imed. Ka riikidevaheline piir on keeruline ja sakiline. Seepärast tekib küsimus, kuidas hinnata riigipiiri pikkust. Eelmise sajandi alguses uuris seda meteoroloog ja arvutusliku ilmaennustuse põhimõtete looja inglane Lewis Fry Richardson (1881–1953). Ta näitas,et kahe riigi vahelise piiri pikkus oleneb mõõtkavast – mida väiksem mõõdupuu, millega mõõdame, seda rohkem arvestame piiri sakilisusega ja seda täpsema tulemuse saame. Klassikalise geomeetria vaateväljast jäid niisugused keerulised struktuurid ja probleemid välja. Klassikalise geomeetria kujundid on sirged ja tasandid, ringid ja kerad, kolmnurgad, koonused ja püramiidid. Kõik nad on reaalsuse abstraktsioonid, mille taga oli platonlik harmooniale toetuv filosoofia. See oli aeg, mil tekkis Eukleidese geomeetria, mis valitses aastatuhandeid, kuid osutus ebapiisavaks maailma kirjeldamisel. Maailm ja teda iseloomustav geomeetria, millega tulid välja Benoit Mandelbrot ja tema vahetud eelkäijad, on nurgeline, karedate pindadega, konarlik, sageli monstrumeid meenutavate kujundite maailm. Kõikidel sellistel protsessidel, nähtustel ja kujunditel on ühine omadus – sarnasus iseendaga. Kui suurendada osa kujundist, ilmneb, et see on sarnane kogu kujundiga. Näiteks pilved koosnevad iseenesega sarnastest osadest. Lumehelveste enesega sarnasus on eriti hästi näha lumekristallide fotodelt (vt Kochi lumehelvest). Richardson, kes jättis tuntava jälje turbulentsuse ehk keeriselise liikumise teooriasse näiteks kas või omanimelise Richardsoni arvuga, mõistis, et turbulents erinevas mastaabis on enesega sarnane. Suurte rahade “liigutajatele“ võib olla huvitav, et ka rahavahetuse kursse ja börsi kõikumist võib vaadelda samas seoses, nagu turbulentsi.

Uus suund – fraktalite geomeetria

Vastne Jaapani preemia laureaat Mandelbrot arendas välja geomeetria uue suuna – fraktalite geomeetria, mis käsitleb mõõtkava suhtes invariantseid vorme, sääraseid, mis teatud teisenduste suhtes jäävad muutumatuks. Ta avastas, et enesega sarnasus on looduses universaalne omadus, mis on aluseks komplekssetele ehk terviklikele kujunditele ja vormidele, ning nimetas neid fraktaliteks. Matemaatilises mõttes on fraktal pidev joon, millel pole tuletist. Kuid fraktaljoon on sile ainult näiliselt, mikrostruktuurilt näeb see korrapäratu murdjoon välja nagu saehammastik või noatera mikroskoobi all suurendatult.

Kõnealuse probleemiga kohtusid juba mõned 19. sajandi matemaatikud ja füüsikud, kuid jätsid selle kõrvale kui erandliku ja tolleaegse arvutustehnikaga käsitlematu. Mandelbrot, kirjeldades fraktalite omadusi matemaatiliselt, pani sellega aluse uuele metodoloogiale komplekssüsteemide uurimisel. Fraktalite geomeetriast sai matemaatika, füüsika, astronoomia ja teiste alade tööriist, millel on palju rakendusi. Nii leiti, et metalli murdekoha fraktaalse struktuuri alusel on võimalik otsustada, kuidas tekkis defekt. Haava fraktalite kaudu saab hinnata, mis põhjustas trauma. Fraktalite analüüs annab isegi võimaluse muusika teaduslikuks uurimiseks. Vajalik võiks see olla näiteks muusika teooria arendamiseks, samuti plagiaadi kindlakstegemiseks.

Fraktalid – 21. sajandi teaduse näo kujundajad

Determineeritud kaose teooria jätkuks on fraktalite teooria. Ilmneb, et kaos on tihedalt seoses fraktalitega (2). Professor James Yorke koos Marylandi kaosemeeskonnaga on saanud nüüdisaja liidriks kaose uurimisel ja on loonud rohkem kui kaose matemaatilise teooria – ta on andnud sõnumi füüsikutele, et kaos on käitumise liik, kõikjalolev, keeruline, kuid kindla struktuuriga, mis eriti tähtis kaose kontrollimisel, vältimisel ja rakendamisel. Praegu uurib Marylandi kaose koolkond aidsi epidemioloogiat, samuti on nad huvitatud rottide genoomi projektist. Kuid põhiline uurimissuund on seotud Rahvusliku Ilmateenistusega, et luua parem arvutuslik mudel ilma ennustamiseks. Mandelbrot ja York ning nende eelkäijad on andnud maailmale uue võimaluse, et mõista looduse terviknähtusi. Võib julgesti ennustada, et kaose-fraktalite käsitus kujundab oluliselt 21. sajandi teaduse näo.

(1) Rein Veskimäe intervjuu Heino Toomingaga, Ilma kujundab segadus. Horisont, 2002, 6.

(2) Jüri Engelbrecht, Ragnar Kurm, Arvutiga maailma avastamas. Horisont, 1995, 1–6; Ülo Lepik, Jüri Engelbrecht, Kaoseraamat. Teaduste Akadeemia Kirjastus, Tallinn,1998.

HEINO TOOMING (1930) on bioloogiadoktor, professor. Töötanud aastaid Eesti Meteoroloogia ja Hüdroloogia Instituudis.